若a,b∈R,且2a+b=1

若a,b∈R,且2a+b=1，则S=2√(ab)-4a²-b²的最大值为？
解析：要求S=2√(ab)-4a²-b²，那么√ab中的ab就必须同号，要么都是正，要么都是负，又由于2a+b=1，所以a、b就只能同为正数了。
____于是多次运用：a+b≥2√(ab)，a、b∈R+，
当且仅当a=b时，a+b=2√(ab)；
____由2a+b=1，可知：2a+b≥2√(2ab)，
即1≥2√(2ab)，所以2√(ab)≤√2/2；——(1)
所以ab≤1/8；——(2)
____由2a+b=1，可知：(2a+b)^2=1，
即2a^2+b^2+4ab=1，2a^2+b^2=1-4ab，
由(2)知1-4ab≥1/2，
则2a^2+b^2≥1/2，则-(2a^2+b^2)≤-1/2——(3)
由(1)(3)可知：2√(ab)-(2a^2+b^2)≤(√2/2)-(1/2)，
即：S≤(√2-1)/2，要取等号，就看(1)如何取等号，(1)中当且仅当2a=b时，不等式(1)取到等号，由2a+b=1可知：a=1/4，b=1/2。
____即：S≤(√2-1)/2

2a+b=1
两边平方
4a^2+b^2=1-4ab

所以S=2√(ab)-(1-4ab)
=4ab+2√(ab)-1
令x=√ab
所以x>=0
S=4x^2+2x-1
=4(x^2+x/2)-1
=4(x+1/4)^2-5/4
x>=0
所以x=√ab=0时有最小值=-1